國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO 6892-1：2019的附錄G（規(guī)范性附錄）規(guī)定了使用單軸拉伸試驗(yàn)測(cè)定金屬材料彈性模量的方法。該附錄也給出了彈性模量測(cè)量不確定度評(píng)定的兩種方法，即分別按照CWA 15261-2和附錄K的方法[其中CWA 15261-2為歐盟的研討會(huì)協(xié)議（CEW Workshop Agreenent），目前正在轉(zhuǎn)化為國(guó)際技術(shù)報(bào)告]，但這兩種方法評(píng)定結(jié)果相差較大，來(lái)自鋼研納克檢測(cè)技術(shù)股份有限公司和鋼鐵研究總院分析測(cè)試研究所的高怡斐、梁新幫兩位研究人員對(duì)其進(jìn)行了分析與討論。

 

1測(cè)量不確定度表示與評(píng)定

 

1.1合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的兩類分量

 

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc包含兩類分量，即通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定得到的A分量uc,A和通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法以外的其他分析方法評(píng)定得到的B分量uc,B。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度定義為：合成方差的正平方根。對(duì)于用附錄G的方法測(cè)定的彈性模量E，其合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(E)表示為

 

 

式中：uc,A(E)為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(E)的A分量；uc,B(E)為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(E)的B分量。

 

對(duì)于彈性模量E的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，其A分量評(píng)定的信息來(lái)源于最小二乘法線性回歸統(tǒng)計(jì)，其B分量評(píng)定的信息來(lái)源于測(cè)量設(shè)備和儀器的準(zhǔn)確度級(jí)別，以及試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的相關(guān)測(cè)量誤差要求等。

 

1.2彈性模量合成不確定度A分量uc,A(E)和uc,A,rel(E)的表示

 

彈性模量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度其A分量評(píng)定根據(jù)最小二乘法線性回歸統(tǒng)計(jì)獲得。回歸模式不同，統(tǒng)計(jì)評(píng)定方式有所不同，對(duì)于彈性模量來(lái)說(shuō)，回歸模式可以采用線性應(yīng)力-應(yīng)變模式，或者線性力-延伸模式。

 

1.2.1 線性應(yīng)力-應(yīng)變模式A分量uc,A(E)和uc,A,rel(E)的表示

 

ISO 6892-1：2019附錄G給定了線性應(yīng)力-應(yīng)變回歸模式：

 

 

式中：R為應(yīng)力；e為應(yīng)變；E為直線斜率（彈性模量)；b為截距。

 

按照式（2）給定的回歸模式，需要獲取數(shù)據(jù)對(duì){(ei,Ri),i=1,2,3,…,n}（ei和Ri分別為應(yīng)變和應(yīng)力）。但拉伸試驗(yàn)中不能夠直接測(cè)量應(yīng)變和應(yīng)力這兩個(gè)量值，而直接能測(cè)量的量是延伸Δ和力F。這就需要將直接測(cè)得的數(shù)據(jù)對(duì)（Δi,Fi）的延伸值Δi和力值Fi分別除以引伸計(jì)標(biāo)距Le和試樣原始橫截面積S0變換為數(shù)據(jù)對(duì)（ei,Ri）。為此，拉伸試驗(yàn)時(shí)，要在彈性范圍內(nèi)同時(shí)刻測(cè)量延伸Δi和力Fi并轉(zhuǎn)換成數(shù)據(jù)對(duì)（ei,Ri），然后采用最小二乘法線性回歸，得到式（2）表示的回歸直線，直線的斜率E即為彈性模量，按照下式計(jì)算：

 

 

式中：n為數(shù)據(jù)對(duì)（測(cè)點(diǎn)）的數(shù)目。

 

為了評(píng)定彈性模量的合成不確定度A分量，需要獲知回歸的標(biāo)準(zhǔn)偏差s，按照下式計(jì)算：

 

 

彈性模量的合成不確定度A分量按照下式計(jì)算：

 

 

彈性模量的合成相對(duì)不確定度A分量按照下式計(jì)算：

 

 

1.2.2 線性力-延伸模式A分量uc,A(E)和uc,A,rel(E)的表示

 

對(duì)于線性力-延伸回歸模式，線性方程模式為

 

 

式中：F為力；Δ為延伸；k為直線斜率；c為截距。

 

式（10）中直線斜率k按照下式計(jì)算：

 

 

為了評(píng)定彈性模量的合成不確定度A分量，需要獲知回歸的標(biāo)準(zhǔn)偏差′s，按照下式計(jì)算：

 

 

回歸的F~Δ直線斜率k的標(biāo)準(zhǔn)偏差和相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差分別按照下式計(jì)算：

 

 

由于標(biāo)準(zhǔn)不確定度等于標(biāo)準(zhǔn)偏差，因此式（16）和式（17）實(shí)質(zhì)分別為斜率k的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度和合成相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A分量，這樣就可按照下式計(jì)算：

 

 

利用附錄A導(dǎo)出的關(guān)系，可以得到彈性模量合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度和合成相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A分量：

 

 

 

1.3彈性模量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度B分量的表示

 

彈性模量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度B分量評(píng)定的信息源于測(cè)量設(shè)備和儀器的準(zhǔn)確度級(jí)別，以及試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的相關(guān)測(cè)量誤差要求等，高怡斐、梁新幫兩位研究人員通過(guò)以下這些信息和分析進(jìn)行評(píng)定。

 

當(dāng)輸入量和輸出量通過(guò)函數(shù)f相聯(lián)系時(shí)，即

 

 

而且當(dāng)輸入量xi之間相互獨(dú)立時(shí)，輸出量y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示為

 

 

彈性模量定義為彈性應(yīng)力-應(yīng)變直線的斜率，表示為

 

 

根據(jù)式（23）和式（24），彈性模量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度B分量uc,B可以表示為

 

 

將式（25）兩邊除以E便得到合成相對(duì)不確定度B分量，表示為

 

 

1.4彈性模量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度和合成相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示

 

1.4.1 彈性模量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

 

將式（9）和式（25）代入式（1）便得到合成不確定度uc(E)

 

 

式中：uc,A,rel(E)為彈性模量的合成相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A分量，urel(F)為由測(cè)力系統(tǒng)（傳感器）誤差引起的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分項(xiàng)；urel(Δ)為由測(cè)延伸系統(tǒng)（引伸計(jì)）誤差引起的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分項(xiàng)；urel(Le)為由引伸計(jì)標(biāo)距誤差引起的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分項(xiàng)；urel(S0)為由原始橫截面積測(cè)量誤差引起的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分項(xiàng)。

 

當(dāng)回歸的是力-延伸（F-Δ）直線，這時(shí)A分量見(jiàn)式（21）。

 

1.4.2 彈性模量的合成相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度

 

將式（27）兩邊除以彈性模量E即得到合成相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度，表達(dá)式：

 

 

1.5擴(kuò)展不確定度表示

 

擴(kuò)展不確定度一般表示為

 

 

式中：Up為給定概率p的擴(kuò)展不確定度；kp為給定概率的包含因子；uc為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

 

概率p一般采用99%和95%。多數(shù)采用95%，包含因子k95取值為2，于是擴(kuò)展不確定度為

 

 

如果合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為合成相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc,rel，式（29）表示為

 

 

報(bào)告擴(kuò)展不確定度時(shí)要注明包含因子k=2。

 

2彈性模量不確定度評(píng)定舉例

 

2.1彈性模量的合成相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A分量uc,A,rel(E)評(píng)定

 

2.1.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

 

以下計(jì)算的數(shù)據(jù)取自文獻(xiàn)中的附錄G。引伸計(jì)標(biāo)距Le為50mm，原始橫截面積S0為78.5mm2，力-延伸曲線斜率（線彈直線段）k為293.07kN·mm-1，力-延伸曲線斜率（線彈直線段）的標(biāo)準(zhǔn)不確定度A分量為uc,A(k)為0.064kN·mm-1，彈性模量E為186.7GPa。

 

2.1.2  A分量uc,A,rel(E)的計(jì)算

 

按照式（21）計(jì)算uc,A,rel(E)=uc,A(k)/k=0.064/293.7=0.02%。

 

2.2彈性模量的合成相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度B分量的相關(guān)分項(xiàng)計(jì)算

 

2.2.1測(cè)力誤差引起的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分項(xiàng)urel(F)

 

文獻(xiàn)中的附錄G規(guī)定：拉伸試驗(yàn)機(jī)的測(cè)力系統(tǒng)應(yīng)符合國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO 7500-1的1級(jí)，該級(jí)允許誤差為±1.0%。這一誤差是不確定度來(lái)源之一，為了將此誤差量化轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)偏差（即標(biāo)準(zhǔn)不確定度），需要知道F取值的分布和包含因子k， 如果不知道，一般把其近似為均勻分布（矩形分布），包含因子

 

 

由這誤差引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度量化為，量F分散區(qū)間半寬度a除以包含因子k，即urel(F)=

 

 

2.2.2 測(cè)延伸誤差引起的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分項(xiàng)urel(Δ)

 

文獻(xiàn)中的附錄G規(guī)定：引伸計(jì)系統(tǒng)應(yīng)符合國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO 9513：1999的0.5級(jí)，該級(jí)允許誤差為±0.5%或±1.5μm。因?yàn)樵跍y(cè)定金屬材料彈性模量試驗(yàn)中，測(cè)量的延伸量很小，必須采用絕對(duì)誤差值±1.5μm。按照文獻(xiàn)中的附錄G確定相對(duì)誤差的方法是：應(yīng)力增量ΔR=200MPa，彈性模量E=200GPa，引伸計(jì)標(biāo)距Le=50mm，產(chǎn)生延伸Δ=0.05mm=50μm。那么，按照前述的允許絕對(duì)誤差±1.5μm折合成相對(duì)誤差為±3%。量Δ取值分布近似視為均勻分布，取

 

 

引起的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度

 

 

2.2.3 引伸計(jì)標(biāo)距誤差引起的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分項(xiàng)urel(Le)

 

文獻(xiàn)中的附錄G規(guī)定：引伸計(jì)系統(tǒng)應(yīng)符合國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO 9513：1999的0.5級(jí)，對(duì)于這一級(jí)別，引伸計(jì)標(biāo)距允許誤差為±0.5%。Le取值分布近似視為均勻分布，

 

 

引起的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度

 

 

2.2.4 試樣橫截面積誤差引起的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分項(xiàng)urel(S0)

 

試樣原始橫截面積S0不是直接測(cè)量得到，對(duì)于圓形橫截面試樣，試驗(yàn)前測(cè)量其橫截面直徑d，原始橫截面積測(cè)量不確定度應(yīng)為

 

 

根據(jù)文獻(xiàn)中的附錄G的G.3.1.4款規(guī)定測(cè)量試樣尺寸的裝置其測(cè)量準(zhǔn)確度應(yīng)優(yōu)于±0.5%，該誤差引起尺寸測(cè)量的相對(duì)不確定度為urel(d)=a/k，將其代入式（32）并且表示為絕對(duì)不確定度，則

 

 

值得注意的是，文獻(xiàn)中的附錄G中，表G.1和式（G.5）對(duì)應(yīng)于這分項(xiàng)不確定度，沒(méi)有除以根號(hào)3，這是錯(cuò)誤的。

 

2.3彈性模量的合成相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc,rel(E)

 

將上述數(shù)據(jù)代入式（28）計(jì)算彈性模量的合成相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc,rel(E)=

 

 

2.4彈性模量的合成 （絕對(duì)）標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(E)

 

彈性模量的合成（絕對(duì)）不確定度可以首先按照式（28）計(jì)算得其相對(duì)值，然后用E乘以該值得到，即

 

 

 

2.5彈性模量的擴(kuò)展不確定度U95,rel

 

將uc,rel(E)的值代入式（31）得到U95,rel=2×1.9%=3.8%（k=2）。

 

2.6測(cè)量結(jié)果報(bào)告

 

當(dāng)給出完整的彈性模量測(cè)量結(jié)果時(shí)，一般應(yīng)給出彈性模量的測(cè)量不確定度，有多種表達(dá)形式。文獻(xiàn)中的附錄G采用給出真實(shí)值所在區(qū)間的形式，不確定度的單位與測(cè)量值相同，有效數(shù)字一般取不多于兩位。因此，上述結(jié)果報(bào)告為E=（186.7±7.1）GPa（k=2）。

 

3討論

 

3.1用文獻(xiàn)中附錄G的式（G.4）評(píng)定彈性模量不確定度偏小的原因

 

文獻(xiàn)中給出了彈性模量合成不確定度評(píng)定的兩種方法，即按照附錄K的方法和文獻(xiàn)中給定的方法，為了簡(jiǎn)便，前者稱為方法A；后者稱為方法B。

 

3.1.1 與方法A比較

 

彈性模量的合成相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc,rel(E)=1.9%，這與用文獻(xiàn)中附錄G的式（G.7）得到的結(jié)果相同。

 

彈性模量的擴(kuò)展不確定度U95,rel=3.8%（k=2），這與附錄G的式（G.8）給出的結(jié)果相同。

 

3.1.2 與方法B比較

 

文獻(xiàn)中附錄G的式（G.4）給出彈性模量合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算公式為

 

 

將數(shù)據(jù)代入式（33）計(jì)算得到uc(E)=1.2GPa。

 

將其表示為相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度，即uc,rel(E)=1.2/E=0.64%，這與之前計(jì)算的1.9%的結(jié)果相差較大。

 

其擴(kuò)展不確定度U95=2.4GPa，和U95,rel=1.3%。分別與之前的3.55GPa和3.8%相比，相差也較大。

 

上述的計(jì)算結(jié)果比較表明，方法B得到的結(jié)果明顯偏小，其原因在于方法B給定的式（33）遺漏了影響較大的兩項(xiàng)不確定度分項(xiàng)，分析如下。將彈性模量定義式[即式（24）]表示為

 

 

式中：k=F/Δ。

 

這樣函數(shù)關(guān)系就可表示為

 

 

根據(jù)式（34），寫(xiě)出合成方差為

 

 

式（36）右邊第1項(xiàng)的u2(k)是斜率k的方差，其由A分量和B分量合成，表示為

 

 

將式（37）代入式（36）并取等式兩邊的正平方根，得到彈性模量的合成不確定度，表示為

 

 

現(xiàn)在將式（38）和式（33）進(jìn)行比較，可知后者式右邊根號(hào)內(nèi)缺少了方差u2(F)和方差u2(Δ)這兩主要項(xiàng)，致使力和伸長(zhǎng)測(cè)量誤差引起的不確定度被缺失，所以其合成不確定度評(píng)定值顯著偏低。

 

利用式（24）可以將式（38）簡(jiǎn)化為

 

 

為了表示成相對(duì)不確定度形式，將式（39）兩邊除以彈性模量E，并利用式（21）把根號(hào)內(nèi)第1項(xiàng)做替換得到：

 

 

可見(jiàn)式（40）即為式（28）。

 

3.2對(duì)延伸相對(duì)誤差確定方法的建議

 

引伸計(jì)準(zhǔn)確度級(jí)的選定，也就給定了允許的相對(duì)誤差值δ，但是延伸測(cè)量范圍Δ如何確定，這就要考慮彈性模量、引伸計(jì)標(biāo)距、評(píng)定彈性模量的應(yīng)力上限等因素。因此，建議相對(duì)誤差延伸測(cè)量范圍按下式計(jì)算

 

 

式中：ε為相對(duì)誤差；δ為引伸計(jì)準(zhǔn)確度級(jí)允許的絕對(duì)誤差；Δ延伸測(cè)量范圍；ReH為上屈服強(qiáng)度。

 

式（41）中的0.4ReH應(yīng)力上限取文獻(xiàn)中的附錄G中規(guī)定的經(jīng)驗(yàn)值。例如，引伸計(jì)符合ISO 9513：1999規(guī)定的0.5級(jí)，δ=±1.5μm，標(biāo)距Le=50mm，上屈服強(qiáng)度ReH=500MPa，測(cè)定的彈性模量E=186.7GPa，那么計(jì)算得到的相對(duì)誤差ε=±2.8%。

 

4結(jié)論

 

(1) 給出了（拉伸試驗(yàn)測(cè)定）的彈性模量合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的一般性表示式和實(shí)例評(píng)定結(jié)果，采用文獻(xiàn)中的附錄G的式（G.4）評(píng)定彈性模量的合成不確定度，其值顯著偏小，原因在于公式中缺失了兩個(gè)主要分項(xiàng)，即缺失測(cè)力設(shè)備準(zhǔn)確度級(jí)所允許的誤差而引起的不確定度分項(xiàng)和延伸測(cè)量?jī)x器準(zhǔn)確度級(jí)所允許的誤差而引起的不確定度分項(xiàng)。

 

(2) 建議補(bǔ)充測(cè)力設(shè)備準(zhǔn)確級(jí)所允許的誤差而引起的不確定度分項(xiàng)和延伸測(cè)量?jī)x器準(zhǔn)確度級(jí)所允許的誤差而引起的不確定度分項(xiàng)，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO 6892-1：2019的附錄G的式（G.4）修改為

 

 

(3) 按照文獻(xiàn)中附錄K的原則評(píng)定是正確的，建議增加合成相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示式，即