針對定時截尾試驗中裝備無失效被接收時平均無故障間隔時間（Mean Time BetweenFailures, MTBF）估計的問題，通過一種簡易的方法從理論上推導得出了無失效情形下MTBF置信下限的計算公式，并與其他方法進行了比較。同時根據置信下限計算的公式分析出一種定時截尾試驗點估計的實現方案。最后通過實際工程應用，驗證了方法的有效性。

隨著軍方對裝備可靠性的重視，裝備的設計不斷更新優化，相應配套元器件的可靠度也在逐漸提高，在進行可靠性鑒定和驗收試驗時出現零失效被接收的情況是越來越多。

然而，在MTBF值的實際驗證過程中，當失效數大于0時，根據GJB 899A-2009《可靠性鑒定和驗收試驗》提供的方法可以很方便的計算出MTBF的估計，但對于失效數為0時的情況，標準中沒有給出明確說明。

對于這一問題，有文獻從應用數學的角度推導出了指數分布下失效數為0時MTBF置信下限的計算公式，理論性較強，對工程人員來說理解起來需要花費精力。本文給出了一種簡易的推導方法，并對MTBF的點估計做了初步探討，給出了一種計算公式。

失效數為r(r>0)時被接收的估計

根據GJB 899A，當做出的試驗判定為接收時，該試驗停止前發生的責任失效數一定小于等于接收判決的失效數，試驗必須是在達到規定的試驗時間后就停止的。

即MBTF的點估計  為：

（1）

式中：

T—裝備的總試驗時間；

r—責任失效數。

置信度為C的MTBF驗證區間為(θL，θU)，其中θL為置信下限，θU為置信上限。計算公式為：

 （2）

  （3）

其中C’=(1+C)/2為單邊置信限的置信度，θL(C’,r)和θU=θU(C’,r)分別為置信下限系數和置信上限系數。計算公式為：

  (4)

(5)

標準中給出了取置信度C=1-2β（其中β為使用方所承擔風險）時，失效數大于0情況下的置信下限和置信上限系數。通過查表就可以計算出MTBF的驗證區間。但是當失效數為0時上述方法無法應用。

失效數為r(r=0)時被接受的估計

01、MTBF置信下限的推導

任取n個失效率為λ的指數型樣品做定時截尾試驗，則到試驗截止時間t時已失效k個的概率服從二項分布為：

（6)

因此，到時間 t時，已失效的樣品數k≤a（k為試驗方案中規定的接收失效數）的概率就是裝備被接收的概率，公式為：

(7)

當n比較大，λt比較小時，可以用泊松概率近似該二項概率，此時裝備被接收的概率可以近似表示為：

  (8)

對于有替換的試驗總試驗時間T=nt ，對于無替換的試驗，由于k相對于n來說較小，近似取T=nt，則：

（9）

由此可得試驗方案中MTBF的真值θ與接收概率P(θ)的關系為：

(10)

由于β為使用方風險，即當實際的θ=θ1（θ1為檢驗下限值）時，裝備被接收的概率，代入上式有：

   (11)

當達到截止時間，失效數為0時，代入上式得：

對于θ1滿足

根據單側置信限的定義，此時稱θ1為置信度為1-β的單側置信下限，記為θL,即：

  (12)

該公式與相關文獻推導出來的公式是一致的，區別在于部分文獻推導過程理論性比較強，工程試驗人員理解起來比較困難，不易掌握，而另有文獻是基于失效數不為零的情況下進行的推導，不具備較強的說服力。

02、無失效時的點估計

當達到試驗截止時間，責任失效數為0，做出接收判決時，GJB 899A中沒有給出MTBF點估計的計算方法，而GB5080.4-85《設備可靠性試驗可靠性測定試驗的點估計和區間估計方法（指數分布）》 中則給出了推薦公式，即，但應用此方案需要使用方承擔很高的風險。

針對此問題， 由于MTBF點估計值在不同置信水平C下存在于真值θ與檢驗下限θ1之間，通過式(12)可以推斷，此時必有一估計下限θ1’使得

(13)

取 θ1’作為無失效時MTBF的點估計，則

   (14)

若采用GJB 899A中建議的置信度 C=1-2β，則

 (15)

不同 β值下的點估計見下表1。

表1. 不同 β值下的點估計

根據式（15）的單調性，可知β 越大越大，當β=0.3時，，相對于GB 5080.4推薦的圖片，有效控制了使用方風險。

案列分析

某型北斗車載終端要求的MTBF最低可接受值為θ1=160 h ，在定型階段的可靠性鑒定試驗中，通過對該終端全壽命周期分析，確定了其不同的任務剖面，再參照其每一種任務剖面的特征參數圖，擬定出了其在該任務剖面下的環境剖面，參考標準對環境剖面數據簡化后形成制式表格，最終繪制出了針對該終端的試驗剖面圖。根據試驗大綱要求采取定時截尾試驗驗證，選用標準GJB 899A中標準型試驗統計方案17進行本次試驗，總試驗時間為。

試驗結束后，對統計的試驗數據進行整理分析，責任故障為零，結果為無失效，對該終端給出的判定為接收。

依據技術文件要求，在形成正式報告時需要對該型終端的可靠性指標進行估計，由于提供的技術文件中沒有對無失效接收時的點估計進行明確約定。與相關技術人員進一步溝通后了解到該型號技術還不盡完善，成熟度可能不高。于是議定采用式（15）計算點估計得。

由于試驗結果為無失效，在獲得MTBF驗證區間時只需計算其置信下限，依據式（12）得。

針對本次試驗，對于點估計的計算，如果依據GB 5080.4推薦的公式計算可以得到，此計算結果遠大于750.8h，這個數據對于使用方了解裝備可靠性是沒有指導意義的。當裝備成熟度比較高時，可以參考引用。

結  束 語

隨著使用方對裝備可靠性要求越來越具體化，針對可靠性驗證試驗中無失效被接收的情況，只對試驗結果進行接收判定已不能滿足使用方要求。本文從裝備被接收的概率公式出發，考慮當樣品無失效時這一特殊情況，對概率公式進行簡化，進一步從理論上推導出了MTBF的置信下限及點估計公式，通過案例借用推導的公式對試驗結果進行了定量分析，有效的幫助了使用方對裝備可靠性的直觀了解，得到了生產方和使用方的認可，同時為工程試驗人員提供了一種可行的實施方案。