一般而言，工程實際中的振動系統(tǒng)都是連續(xù)實體，其質量與剛度連續(xù)分布，理論上具有無限多個自由度，嚴格來講需要用連續(xù)模型才能加以描述，但是連續(xù)體的振動分析涉及偏微分方程理論，求解也十分困難，而且大多偏微分方程不存在解析解。同時，大量的復雜振動系統(tǒng)無法簡化為單自由度系統(tǒng)，而是需要簡化為多自由度系統(tǒng)才能反映實際問題的力學本質。由此，工程實踐中的許多連續(xù)彈性體，通常是采用適當的方法將其簡化為有限多個自由度的模型來分析。

01、多自由度系統(tǒng)模型的建立

一個簡單的方法是將連續(xù)系統(tǒng)分割為有限多個集中質量，它們之間通過彈性元件和阻尼元件相連接，從而建立起集中參數的多自由度“質-阻-彈”模型。這一模型稱為集中參數系統(tǒng) (lumped parametersystem) 或集中質量系統(tǒng)。每個集中質量的運動可用線性坐標來描述，描述模型中全部集中質量運動所需的最少獨立坐標數目，稱為系統(tǒng)的自由度數。這些獨立坐標也稱為廣義坐標，廣義坐標的數量等于系統(tǒng)的自由度數目。常把具有兩個和兩個以上自由度的系統(tǒng)稱為多自由度系統(tǒng)，多自由度系統(tǒng)模型的分析僅涉及常微分方程組，其求解相對于連續(xù)模型要簡單很多。因此，為了簡化分析，經常將連續(xù)體簡化為多自由度系統(tǒng)。需要指出的是，一個振動系統(tǒng)，如果其振動幅度沒有限制，則振動方程中的廣義坐標及其對時間的微商（廣義速度、廣義加速度）一般以非線性形式存在；但如果系統(tǒng)振動的幅度很小，以至于振動方程中只需保留廣義坐標及其時間微商的一階項就足夠精確，則可以用線性微分方程描述該系統(tǒng)。

圖1 簡化的多自由度系統(tǒng)

圖2 分離mi 與其作用力圖

多自由系統(tǒng)是需要多個獨立坐標來描述其運動的振動系統(tǒng)。多自由度振動系統(tǒng)與單自由度振動系統(tǒng)，既有聯(lián)系又有區(qū)別。單自由度是振動系統(tǒng)的特例，其理論是分析多自由度振動的基礎，單自由系統(tǒng)的基本概念和分析方法，會在多自由度系統(tǒng)中得到繼續(xù)使用或推廣；多自由度系統(tǒng)振動方程在形式上與單自由度的也一致，所不同的是將單自由度方程中的實系數變量變換為矩陣。由此，與單自由度相比，多自由度系統(tǒng)要復雜一些，特別是自由度數加大時，對系統(tǒng)的振動分析將變得非常繁雜。為便于多自由度系統(tǒng)的振動分析，需要應用線性代數和矩陣理論。

式中，M、C、K 分別為質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

多自由度系統(tǒng)中“質-阻-彈”元件的簡化原則與單自由度相同，盡量將質量集中、變形小的部分簡化為集中質量并略去其剛度，將變形大、質量小的部分簡化為彈性元件并略去其質量。在實際簡化中，遇到比較復雜的情況，可以根據工程經驗進行簡化處理。缺少工程經驗時，應按照簡化前后動能相等的原則來簡化集中質量；按照勢能相等的原則來簡化集中剛度；在阻尼不是很大的情況下，可以利用能量等效原理來對非線性阻尼進行線性化處理。自由度數目的多少，取決于研究對象的具體情況和精度要求，一般來說，自由度越多分析精度越高，分析也越復雜煩瑣，在滿足精度的前提下，應盡量減少自由度的數目。

02、多自由度振動系統(tǒng)的分析

多自由度系統(tǒng)與單自由度系統(tǒng)相比，其分析不僅計算量大，分析方法也要有相應的改變。單自由度系統(tǒng)只有一個固有頻率，而n 自由系統(tǒng)有n 個固有頻率。當系統(tǒng)以任意一個固有頻率做自由振動時，系統(tǒng)各點的穩(wěn)態(tài)響應幅值構成一特定的、不隨時間變化的比例關系，稱為模態(tài)。模態(tài)分析是多自由度系統(tǒng)振動分析的基本手段，其思想是將相互耦合的多自由度運動方程變換為多個獨立的自由度系統(tǒng)運動方程，然后應用單自由度系統(tǒng)的求解方法進行求解。模態(tài)分析首先識別系統(tǒng)自由振動的基本特征，然后應用這些特征對運動微分方程進行變換，得到一組獨立的單自由運動方程。多自由度系統(tǒng)振動分析通常采用矩陣方法。系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)分別對應矩陣的特征值和特征向量。

對于n 自由度振動系統(tǒng)，在無阻尼和外力作用下的自由振動方程一般形式為：

在系統(tǒng)自由振動中，假設所有的質量均作簡諧運動，則方程解的形式為

式中，ωni、φi 分別為第i 階振型的固有頻率和相角；Xi 為第i 階振型的諸位移的列陣；A(i) 為第i 階振型中各點的位移最大值或振幅向量。

Xi 和A(i) 可表示為

將下式代入n 自由度振動系統(tǒng)，在無阻尼和外力作用下的自由振動方程

得如下代數方程

令

稱H (i) 為特征矩陣。

對于振動系統(tǒng)，振幅不全部為零，因而必有

上式稱為系統(tǒng)的特征方程，其一般形式為

展開此行列式得最高階為 (ω²ni )n 的代數多項式。由此代數多項式可解出不相等的ω²n1, ω²n2, ···, ω²nn，共n 個根，稱此根為特征根或特征值，開方后即得固有頻率ωni 值。自由度數低的可用因式分解法求解，否則必須用數值法求解。

如果M 是正定的（即系統(tǒng)的動能除全部速度都為零外，總是大于零的），K 是正定的或半正定的，特征值ω²ni 全部是正實根，特殊情況下，其中有零根或重根。將這n 個固有頻率由小到大按次序排列，分別稱為一階固有頻率、二階固有頻率、···、n 階固有頻率，即

有的半正定系統(tǒng)可能不止一個零值固有頻率，說明系統(tǒng)具有不止一個獨立的剛體運動，未加任何約束的帶有若干個集中質量的梁，計算平面彎曲振動時，就出現兩個零值固有頻率，即系統(tǒng)在平面內具有平移的剛體運動及轉動的剛體運動。

03、特征值和特征向量

設A 是n 階方陣，如果數λ 和n 維非零列向量x 使關系式Ax=λx 成立，那么數λ 稱為矩陣A 特征值，非零向量x 稱為A 的對應于特征值λ 的特征向量。式Ax=λx 也可寫成 (A-λE )X=0。若λ 為實特征值時，矩陣對某一個向量或某些向量只發(fā)生伸縮變換，不對這些向量產生旋轉效果，那么這些向量就是矩陣的特征值，伸縮的比例就是特征值；如果伸縮的比例值為負值，原向量的方向改變?yōu)榉聪颍蛄咳匀粸檫@個矩陣的特征向量。當λ 為復數時，則會使特征向量在復平面上進行旋轉，但在實軸上仍然只是進行伸縮變換。特征向量是個線性不變量，在實特征值的作用下只改變長度，不改變方向，或者說是與自身共線的向量。機械振動和電振動有頻譜，振動的某個頻率具有某個幅度，那么矩陣也有矩陣的譜，矩陣的譜就是矩陣特征值的概念，是矩陣的固有特性，所有的特征值形成了矩陣的一個頻譜，每個特征值是矩陣的一個“諧振頻點”。特征值是幾乎任何一個動力系統(tǒng)的最重要的特征。

04、固有頻率與振型

當系統(tǒng)按其中某一固有頻率作自由振動時，稱為主振動。主振動是一種簡諧振動。系統(tǒng)作主振動時，任何瞬時各點位移之比具有一定的相對比值，即整個系統(tǒng)具有確定的振動形態(tài)，稱為主振型（模態(tài)）。主振型和固有頻率一樣，只決定于系統(tǒng)本身的物理性質，而與初始條件無關。主振型是多自由度系統(tǒng)以及彈性體振動的重要特性。系統(tǒng)對簡諧激振的響應是系統(tǒng)固有頻率與激振頻率相同的簡諧振動。振幅與系統(tǒng)固有頻率和激振頻率的比值有關。當激振頻率接近于系統(tǒng)的任意固有頻率時，就發(fā)生共振，共振時的振型就是與固有頻率相對應的主振型。系統(tǒng)作與激振力同頻率的簡諧振動，其振幅不僅決定于激振力的幅值 [F ]，還與系統(tǒng)的固有頻率和激振頻率有很大關系。正交性是模態(tài)的一個重要特性，振動分析的許多基本概念、方法及高效算法是以此為基礎的。N 階自由度系統(tǒng)有n 個固有頻率及n 組主振型A(i)，可以出現n 個頻率不同的共振現象。在少數的幾個最低模式中，其中振幅一般比較大，而高階頻率所對應的模式中振幅都較小。二自由度系統(tǒng)在任意初始條件下的響應都是兩個主振動的疊加，只有在特殊的初始條件下，系統(tǒng)才按某一個固有頻率作主振動。在一般情況下，二自由度系統(tǒng)的自由振動是兩個不同頻率主振動的合成，合成的結果不一定是簡諧振動。

頻率分析就是計算這些共振頻率及它們對應的振動模式，計算共振頻率及它們對應的振動模式，就是頻率分析的所有內容，基本頻率即最低的共振頻率。自然頻率的值與結構體在特定模式下所需要的能量級別成正比，因此，在基本頻率下結構體振動所需的能量相比其他所有更高的自然頻率而言是最小的。

如果系統(tǒng)具有一定的阻尼且激振頻率接近于系統(tǒng)的固有頻率時，則阻尼起著非常顯著的抑制共振振幅的作用。比例阻尼是指阻尼矩陣與質量矩陣M 或剛度矩陣K 成比例，或者正比于二者的線性組合。

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