前言
很多設計者都知道晶體振蕩器都是基于皮爾斯振蕩器，但不是所有人都知道具體是如何工作的，只有一部分人能掌握具體如何設計。在實踐中，對振蕩器設計的關注有限，直到發現它不能正常運行（通常是在最終產品已經在生產時），這會導致項目延遲。
振蕩器必須在設計階段，即在轉向制造之前，得到適當的關注，以避免產品在應用中失敗的噩夢場景。
本文介紹了皮爾斯振蕩器的基礎知識，并為其設計提供了指導方針。
1、石英晶體的特性及模型
石英晶體可以將電能轉化為機械能的東西，也可以將機械能轉化為電能。這種轉化主要發生在諧振頻率上。石英晶體的等效模型可以用Figure1來表示：
C0并聯電容：兩個電極間形成的電容。
Lm動態等效電感：代表機型振動的慣性。
Cm動態等效電容：代表晶振的彈性。
Rm動態等效電阻：代表電路的損耗。
晶振的阻抗表達式如下（假設Rm可以忽略不記）：
下圖Figure 2說明了晶振的阻抗與頻率的關系
其中Fs是當Z=0時的串聯諧振頻率，其表達式如下：
Fa是當電抗Z趨于無窮大時的并聯諧振頻率，假如Fs為已知量，那么其表達式如下：
fs和fa之間的區域（圖2中的陰影區域）是并聯諧振的區域。在這一區域晶振工作在并聯諧振狀態，并且在此區域晶振呈電感特性，從而帶來了相當于180 °的相移。具體諧振頻率FP（可理解為晶振實際工作的頻率）表達式如下：
根據這個方程，可以通過改變負載電容CL來調整晶體的振蕩頻率。這就是為什么，在晶體規格書中，晶體制造商指出了使晶體在標稱頻率下振蕩所需的確切CL。
下面Table2給出了一個8Mhz標稱頻率的等效晶體電路元件值的示例：
使用前面的3個公式，可以計算出Fs和Fa：
Fs=7988768Hz
Fa=8008102Hz
如果負載電容CL=10pF，則其振蕩頻率為：FP = 7995695Hz。要使其達到準確的標稱振蕩頻率8MHz，CL應該為4.02pF。
2、振蕩器的原理
振蕩器由一個放大器和反饋網絡組成，反饋網絡起到頻率選擇的作用。Figure 3通過一個框圖來說明振蕩器的基本原理。
Figure 3 振蕩器的基本原理
上圖中：
A(f)是放大器部分，給這個閉環系統提供能量以保持其振蕩。
B(f)是反饋網絡，它決定了振蕩器的頻率。
為了起振，以下的巴克毫森準則必須得到滿足。即閉環增益應大于1，并且總相移為360°。
振蕩需要初始能量才能啟動。通電瞬變和噪聲可以提供所需的能量。然而，能量需要足夠高才能在所需的頻率下觸發振蕩。
為了讓振蕩器穩定工作，實際A(f)*B(f)>>1，這意味著開環增益應該遠遠高于1。振蕩達到穩定狀態所需的時間取決于開環增益。
僅僅滿足振蕩條件也不足以解釋晶振為什么起振。實際過程是，在這種條件下的放大器是非常不穩定的，任何干擾進入這種正反饋閉環系統都會使其不穩定并引發振蕩啟動。干擾可能源于上電，晶振熱噪聲等。同時必須注意到，只有在晶振的工作頻率范圍內的噪聲才能被放大，這部分相對于噪聲的全部能量來說只是很小一部分，這也就是為什么晶體振蕩器需要很長時間才能啟動的原因。
3、皮爾斯晶體振蕩器
皮爾斯晶體振蕩器有低功耗、低成本及良好的穩定性等特點，因此常見于應用中。
Inv：內部反相放大器。
Q：石英或陶瓷晶振。
RF：內部反饋電阻。
RExt：外部限流電阻，限制反相器輸出電流。
CL1和CL2：兩個外部負載電容。
Cs：寄生電容：PCB布線，OSC_IN和OSC_OUT管腳之間的效雜散電容
4、皮爾斯晶體振蕩器設計
本節講了不同的參數，以及如何確定它們的值，以便更好的進行皮爾斯振蕩器的設計。
1、反饋電阻RF
在幾乎所有的ST的MCU中，RF是內嵌在芯片內的。它的作用是讓反相器作為一個放大器來工作。
Vin和Vout之間增加的反饋電阻使放大器在Vout＝ Vin時產生偏置，迫使反向器工作在線性區域(圖5中陰影區)。該放大器放大了晶振的正常工作區域內（Fs與Fa之間）的噪聲(例如晶振的熱噪聲)，該噪聲從而引發晶振起振。在某些情況下，起振后去掉反饋電阻RF，振蕩器仍可以繼續正常工作。
2、負載電容CL
負載電容CL是指連接到晶振上的終端電容。CL值取決于外部電容器CL1和CL2，雜散電容Cs。CL值由由晶振制造商給出。
振蕩頻率精度，主要取決于振蕩電路的實際負載電容與晶振制造商給出的CL值是否相同。振蕩頻率是否穩定則主要取決于負載電容值是否保持穩定不變。
調整外部電容器CL1和CL2，使振蕩電路實際的負載電容等于晶振制造商標定的負載值CL參數（晶振規格書一般會提供），可以獲得標定的振蕩頻率。
計算公式如下：
舉個計算的示例：
如果晶振規格書手冊中CL ＝15pF，并假定Cs = 5pF，則匹配電容CL1，CL2有：
3、振蕩器的增益裕量
增益裕量是最重要的參數，它決定振蕩器是否能夠正常起振，其表達式如下：
其中：
a、gm是反相器的跨導（高頻時單位是mA/V，低頻時是μA/V，比如32Khz）。
b、gmcrit (gm critical)的值取決于晶體參數。
假定CL1 = CL2，并假定電路實際的CL與制造商給定的CL值相同，則gmcrit表達式如下（其中ESR是指晶振的等效串聯電阻）：
根據Eric Vittoz理論：晶體等效電路的阻抗由放大器和兩個外部電容的阻抗來補償。
為了滿足這個理論，gm必須滿足gm>gmcrit, 在這種情況下才滿足起振的振蕩條件。為保證可靠的起振，增益裕量gainmargin的最小值一般設為5。
舉個例子，設計一個微控制器的振蕩器部分，其gm等于25mA/V。如果所選擇的石英晶振的參數如下：
頻率 = 8MHz，C0 = 7pF，CL = 10pF，ESR = 80 Ω。那么該晶體能否與微控制器配合起振？
計算gmcrit：
進一步計算增益裕量：
此增益裕量遠大于起振條件，即gainmargin>5，晶振將正常起振。
如果不能滿足增益裕量起振條件(即增益裕量gainmargin小于5)，晶振無法正常起振，應嘗試選擇一種ESR較低，CL較低的晶振。
4、驅動功率DL和外部串阻Rext計算
驅動功率DL和串聯電阻Rext這兩個參數是相互聯系的，這也就是為什么在同一節中描述此二者的原因。
a、驅動功率DL的計算
驅動功率描述了晶振的功耗。晶振的功耗必須受到限制，否則石英晶體可能會由于過度的機械振動而導致不能正常工作。通常由晶振制造商給出晶振驅動功率的最大值，單位通常是毫瓦。超過這個值時，晶振可能就會損壞。
晶振的驅動功率DL滿足下面公式：
其中：
ESR：是指晶振的等效串聯電阻(其值由晶振制造商提供的晶振規格書手冊給出)：
IQ：是流過晶振電流的有效值，使用示波器可觀測到其波形為正弦波。電流值可使用峰－峰值(IPP)。當使用電流探頭時(如Figure6)，示波器的量程比例可能需要設置為1mA/1mV。
如前面描述，當使用電位器調整電流值，可使流過晶振的電流不超過最大電流有效值IQmaxrms(假設流過晶振的電流波形為正弦波)。
最大電流有效值IQmaxrms表達式如下：
因此，流過晶振的電流峰峰值IPP（可從示波器讀到）不應超過IQmaxPP，IQmaxPP表達式如下：
這也就是為什么需要外部電阻Rext的原因。當IQ超過IQmaxPP時，Rext是必需的，并且RExt要加入到ESR中去參與計算IQmax。
b、另外一個測量驅動功率DL的方法
驅動功率可以由下式計算得出：
其中IQrms是交流電流的有效值。
這個電流可以通過使用小電容(<1pF)示波器探頭在放大器的輸入端，測量電壓變化得到。相對于流經CL1的電流，放大器的輸入電流可以忽略不計，因此可以假定經過晶振的電流等于流經CL1的電流。這樣，電壓的有效值與電流的有效值有如下關系：
其中：
Vpp指的是測量的CL1兩端電壓的峰峰值。
Ctot = CL1 + (CS/2) + Cprobe
CL1：是放大器輸入端的外部電容
CS：是寄生電容
Cprobe：是示波器探頭的電容
這樣，最終驅動功率DL可以由下式子得出：
DL的測量值一定不能超過由晶體廠家提供的手冊中的DL數值。
c、外部串聯電阻Rext的計算
這個電阻的作用是限制晶振的功率，并且它與CL2組成一個低通濾波器，以確保振蕩器的起振點在基頻上，而不是在其他高次諧波頻率點上(避免3次，5次，7次諧波頻率)。
如果晶振的功耗超過晶振制造商的給定值，外部電阻Rext是必需的，用以避免晶振被過分驅動。如果晶振的功耗小于晶振制造商的給定值，就不推薦使用Rext了，它的值可以是0Ω。
對Rext值的預估可以通過考慮由Rext和CL2構成了一個濾波器，通帶寬度應不小于振蕩器頻率，當振蕩頻率正好等于濾波器截止頻率時，有下面公式：
舉例，當：
振蕩器頻率F = 8MHz
CL2 = 15pF
得到：Rext = 1326Ω
優化RExt值的方法推薦如下：
首先根據前面的介紹確定好CL1和CL2的值，其次使用電位器來代替Rext，Rext值可預設為CL2的阻抗，然后調整電位器的阻值直到它滿足晶振驅動功率要求。
在計算完Rext值后要重新計算gainmargin的值（參考前面內容）以確保Rext值對起振條件沒有影響。Rext值的值需要加入到ESR中參與gmcrit的計算，同時要保證gm >>gmcrit。
如果Rext值太小，晶振上可能會承擔太多的功耗。如果Rext值太大，振蕩器起振條件將得不到滿足從而無法正常工作。
d、啟動時間
啟動時間是指振蕩器啟動并達到穩定所需的時間。石英晶體振蕩器的啟動時間要比陶瓷晶體振蕩器的時間要長。
啟動時間受外部CL1和CL2電容影響，同時它隨著晶振頻率的增加而減少。不同種類的晶振對啟動時間影響也很大，石英晶振的啟動時間比陶瓷晶振的啟動時間長得多。
起振失敗通常和gainmargin有關，過大或過小的CL1和CL2，以及過大的ESR值均可引起gainmargin不能滿足起振條件。
頻率為MHz級的晶振的啟動時間是毫秒級的，而32kHz的晶振的啟動時間一般要1～5秒。
e、晶體牽引度
晶振的牽引度是指工作在正常并聯諧振區的晶振頻率的變化率。這也用于衡量隨負載電容變化而導致的頻率變化，負載電容的減少會導致頻率的增加，反之負載電容的增加會導致頻率的減小。晶振的牽引度表達式如下：
晶振選型及外部器件的簡易指南
本節給出了一個挑選合適的晶振及外部器件的簡易指南，一共可分為3個主要步驟：
1、計算增益裕量gainmargin
首先選擇一個晶振(根據MCU需求及晶振手冊)
然后計算晶振的增益裕量(gainmargin)并檢查其是否大于5：如果gainmargin < 5，說明這不是一個合適的晶振，應當換一個低ESR值或低CL值的晶振，知道滿足大于5的條件。
2、計算外部負載電容
計算CL1和CL2的值（計算方法見前面章節），并檢查標定為該計算值的電容是否能在市場上獲得。
如果能找到容值為計算值的電容，則晶振可以在期望的頻率正常起振。
如果找不到容值為計算值的電容，在對頻率的要求不是特別苛刻時，選擇市場上能獲得的電容中容值距計算值最近的電容，然后轉到第三步。
3、驅動功率及Rext的計算
計算驅動功率DL并檢查其是否大于晶振的DL參數要求DLcrystal：
如果DL < DLcrystal，沒必要使用外部電阻，祝賀你，你找到了合適的晶振。
如果DL>DLcrystal，應該計算Rext使其確保DL<DLcrystal并據此重新計算Gainmargin。如果Gainmargin>5，祝賀你，你找到了合適的晶振。如果Gainmargin< 5，需要再重新挑選另外一個晶振，然后重新回到第一步。
本文章主要是翻譯ST的資料AN2867：
https://www.st.com/content/ccc/resource/technical/document/application_note/c6/eb/5e/11/e3/69/43/eb/CD00221665.pdf/files/CD00221665.pdf/jcr:content/translations/en.CD00221665.pdf
